Acest articol face parte dintr-o serie dublă de articole care vor privi integrarea şi derivarea. Derivarea , este deosebit de utilă la studierea funcţiilor. Conform definiţiei, derivata unei funcţii este egală cu raportul dintre creşterea funcţiei către creşterea argumentului. Aşa cum creşterea, se notează cu delta , derivata unei funcţii y(x) se va nota cu sau cu oricare din simbolurile care manifestă creşterea funcţiei către creşterea argumentului. În general , după cum ştim o funcţie se notează cu f(x). Derivata acestei funcţii poate fi exprimată şi ca fiind egală cu tangenta unghiul format de tangenta la acest grafic în punctul căutat(revenim mai tîrziu asupra acestui punct).De altfel în general , derivata unei funcţii f(x) se notează cu f’(x) (cu apostrof).

Dacă luăm creşterea argumentului(x) ca fiind foarte mică, şi , admitem , că creşterea acestei funcţii este egală cu unde (delta x, tinde la zero) atunci derivata acestei funcţii va fi egală cu

Explicaţie: Din valoarea funcţiei în x+dx se scade valoarea funcţiei în x(astfel calculîndu-se creşterea funcţiei) şi se împarte la creşterea argumentului(care este, normal dx).

Pentru a obţine o eroare cît mai mică la calcularea derivatei , creşterea argumentului se ia ca fiind foarte mică(infinitezimală) .Astfel formula lui  Lagrange spune că derivata funcţiei este egală cu:

În continuare vom lua drept exemplu o funcţie liniară pe care o vom deriva.

Fie f(x)=2x .

Aplicăm formula lui Lagrange:

Rezultă că derivata acestei funcţii este o constantă, şi este egală cu 2.

Să derivăm o altă funcţie liniară. Fie f(x)= -3x+1

Conform regulii:

Se observă că derivata funcţiei liniare este egală cu panta acesteia. O funcţie de forma f(x)=ax+b are derivata egală cu a.În general există reguli de derivare pentru a nu folosi regula de mai sus(mai ales că devine complicată pe măsură ce avansăm ) care ne simplifică procesul de derivare.(vor fi prezentate mai jos într-un tabel).

Să derivăm o funcţie de gradul doi.

Fie

Prin simplificare cu dx obţinem şi deoarece dx tinde la 0

O funcţie de tipul derivată va fi egală cu iar funcţia derivată va fi egală cu

Ca să nu ne extidendem prea mult, vă prezint aici regulile de derivare pentru diverse funcţii.

Polinoamele se clasifică după grad. Gradul Celui mai mare termen este şi gradul polinomului

De exemplu polinomul :

este de gradul 3.

Un lucru important de memorat este că numărul de rădăcini ale unui polinom coincide sau este mai mic decît gradul polinomului.

Astfel,  un polinom de gradul 3 poate avea fie trei , fie două, fie o rădăcină. Polinoamele cu gradul impar au neapărat o rădăcină (vom demonstra ulterior). Polinoamele cu grad par pot să se lipsească de rădăcini.

Dacă un polinom are numărul a drept rădăcină atunci polinomul se împarte fără rest la x-a

În continuare voi prezenta metode de găsire a  rădăcinilor polinoamelor atît în mulţimea numerelor reale cît şi în mulţimea numerelor complexe.

Polinomul de grad I.

Forma generală:

Rădăcina:

Cazuri particulare :

b=0 rădăcina x=0

_______________________________________________________________________________________

Polinomul de gradul II:

Forma generală :

Rădăcini:

Unde   unde este determinantul ecuaţiei

Menţionez că un determinant negativ indică faptul că ecuaţia de gradul 2 nu are soluţii în R.(deoarece trebuie să extragem radical din delta care este negativ)

Un determinant egal cu zero(nul) indică faptul că ecuaţia are doar o soluţie.

Determinantul pozitiv aduce după sine, 2 soluţii ,numărul maxim pentru ecuaţia de gradul doi.

Ecuaţia de gradul doi cu determinantul zero , de exemplu:

sau sau are o proprietate deosebită.

Pe lîngă faptul că are o singură soluţie ea poate fi restrînsă sub forma unui sume la pătrat :

sau

Graficul funcţiilor determinate de ecuaţii de gradul doi cu determinantul nul arată aşa:

Ele intersectează axa Ox într-un singur punct.

Ecuaţia de gradul II cu determinant negativ:

Drept exemplu să luăm ecuaţia

Determinantul acestei ecuaţii este

Spunem că ecuaţia nu are soluţii în R. Are însă soluţii în mulţimea numerelor complexe.

Ştiind că în mulţimea numerelor complexe constanta şi prin urmare că scriem că

Acum putem extrage uşor radicalul din determinant.

Cele două soluţii ale acestei ecuaţii vor fi

şi iar prin simplificare

şi

________________________________________________________________________________________

Polinomul de gradul III.

Forma generală:

Rădăcini:

Formulele pentru determinarea rădăcinilor sunt de dimensiuni impresionante:

Rădăcina 1 rădăcina a 2 şi cea de-a 3-a

Ele nu sunt practice motiv pentru care se practică alte metode pentru găsirea soluţiilor.

Aceste metode presupun fie ghicirea unei soluţii  şi  împărţirea la x-soluţie.Obţinem astfel dintr-un polinom de gradul 3 unul de gradul doi uşor de rezolvat . În cazul ecuaţiilor simetrice  se practică împărţirea la x+1 a polinomului de grad impar fie împărţirea la a polinomului de grad par  şi efectuarea unei substituţii(t=x+1/x) . Va urma..

Vestea bună este că nu mai am parte de vizitatori care-şi rezolvă temele integral  pe site.Parţial, da.

Vestea şi mai bună este că încep să fiu găsit de oameni interesanţi , şi apare comunitatea mult rîvînită. În acest sens mulţumesc lui mirc3a , Sandrinei, Danei şi lui Iulian şi altora care s-au alăturat recent discuţiilor ori rezolvărilor.

Şi iar veşti bune, vara asta sper să îmbogăţesc situl cu formule şi explicaţii. În special mă interesează analiza funcţiilor , calculul integralelor, derivare şamd, un subiect pe care-l îndrăgesc îndeosebi datorită aplicaţiilor sale practice .

Mă pregătesc să trec situl pe un host nou, poate cu un nou domeniu, aşa cum pe cel actual nu-l deţin eu, ci mi-a fost , la modul cel mai direct, oferit ca premiu(un concurs pe invatam.net).

Ţin să reamintesc tuturor celor care citesc aici, că pot deveni editori(aproaape administratori) dacă doresc, dacă cred că au ce spune, scrie. Iau în calcul posibilitatea plasării publicităţii pe site deşi asta ar fi o lovitură puternică ideii de corectitudine şi de muncă benevolă. Încep să am alergie la singurele bannere de pe site, şi cred că o să fac ceva în privinţa asta. Eu cînd vizitez un site vreau de la el informaţie şi-atît. Nu mă interesează să-l votez în top66.ro şi nici să-mi deschidă alte 5 ferestre în spate cu prostii.Cel puţin aşa simt eu..

Şi nu în ultimul rînd, m-am îndepărtat de matematică în ultima perioadă, scriu lucruri paralele cu ştiinţa . Asta însă e ceva remediabil.

1.

2.

3.      75%

4.

5.

6. C poate avea două poziţii. C(-3,3) sau C(5,-5)

7.

8. Coordonatele sunt (6;6) .

9.

10.

11.       SE întreba destul de clar: Determinați abscisele celorlalte puncte comune ale acestor două grafice.CELORLALTE două. Un punct era -1 iar celalte două erau 2 şi -5.

12.

PS: Părerea personală? A fost un bac accesibil. Singura problemă cu dificultăţi a fost 10 unde existau 2 cazuri , dar punctajul, cel mai probabil, se acorda pentru rezolvarea unui singur.

Rezolvare la problema 10.

Cilindrul circular drepr și conul circular drept au bază comună și inălțime comună. Ariile suprafețelor laterale ale lor se raportă ca 4:3. Calculați măsura unghiului format de generatoarea conului și planului bazei conului.

Conform formulelor :

Acum raportul celor două arii este 4/3.

În mod normal presupunem că aria laterală a cilindrului e mai mare decît a conului luăm raportul şi obţinem că:

De unde

Toate bune şi frumoase. Dar dacă aria laterală a conului e mai mare decît cea a cilindrului?

Sau , simplificînd:

Adică pentru ca aria laterală a conului să fie mai mare generatoarea conului trebuie să fie de două ori mai mare decît înălţimea lui. Perfect posibil. Atunci situaţia stă altfel:

De unde

iar unghiul

Un incident care s-a întîmplat în cel puţin 2 şcoli a fost problema cu imprimarea testelor.La noi s-a început bacul la 9:45. Defecţiuni tehnice, aparent.

Una din cele mai bune glume din acest an a fost cea legată de imprimarea foilor. Mai exact vocea de la radio spunea că va fi posibilă imprimarea unui număr concret de teste, nimic mai mult, ceea ce mă face să întreb, cum , mai exact s-a reuşit această performanţă, care e mecanismul. Din cîte ştiu eu, imprimarea necesită un document, iar un document poate fi imprimat de cîte ori dorim , pînă la epuizarea resurselor(cerneală ,hîrtie). Aşadar, dacă se găseşte cineva cu pregătire în domeniu, sau cu idei, aş vrea să aflu cum exact s-a reuşit implementarea acestei idei.

Postaţi comentarii, tema e deschisă…

Să se determine valorile lui a pentru care ecuaţia are doar o soluţie în R.

Avem două opţiuni.Fie determinantul este nul şi ecuaţia are o singură soluţie fie determinantul este pozitiv dar una din soluţii este negativă. Începem cu primul punct.

Evident, pentru a=3 acest determinant este nul iar ecuaţia are o singură soluţie.

Să vedem cel de-al doilea punct.

Cele două soluţii ale ecuaţiei vor fi:

Acum vom explicita cele două soluţii.

Dacă a mai mare sau egal ca 3.

,deci pentru a>3 această soluţie este pozitivă.

deci şi această soluţie este pozitivă pentru a>3.

Pentru a>3 ambele soluţii sunt pozitive şi există în R.

Pentru a<3

deci pentru a<3 prima soluţie este pozitivă.

de unde rezultă că pentru a<-1  a doua soluţie a ecuaţiei este negativă.

Răspuns : Ecuaţia are o singură soluţie pentru

Vizitatori fantomă, vin , îşi scriu temele , pleacă,  efortul meu este zădarnic .Am reuşit prin efortul meu  să le ofer unor leneşi de facto(nu mă refer la toţi pentru că unii sunt oameni cu bun simţ  şi chiar vor să cunoască) note mai mari decît meritau, poate , în detrimentul altor elevi care au muncit singuri. Nu mă bucur, nu am de ce să fiu fericit, am vrut să fac bine şi mi-a ieşit ,”deloc bine”. Am 600 de comentarii cu tot atîtea exerciţii rezolvate care , în cel mai bun caz au oferit unora o notă mai mare. Prin urmare şi fără drept de apel concluzionez că , deşi  bună, ideea va funcţiona doar într-o lume utopică( Comunism, poate?Fiecare îşi rezolvă doar cît merită şi are nevoie?) iar în lumea asta am nevoie de o tiranie. Începînd cu ziua de astăzi după cum mi-a sugerat administratorul sitului bacmd.com voi da doar indicii la rezolvări iar cei pe care-i voi prinde că încearcă pur şi simplu să-şi rezolve temele îi voi bana instantaneu. Unde am greşit eu? Eu ar fi trebuit să scriu Rezolvăm, persoana a I-a plural, noi, împreună. Am reuşit doar să Rezolv exerciţii la matematică , nu să rezolvăm. Voi modifica regulile aşa încît vizitatorul va învăţa matematică, fără a profita de timpul meu liber pentru a-şi cultiva intensiv prostia şi lenea laolaltă.

Vom deriva raportul

Înlocuind înapoi în formulă:

Această integrală prin substituţia devine egală cu

Înlocuind înapoi în prima formulă:

Mai departe se pot face anumite operaţii pe care nu le voi prezenta însă.