Rezolvare:

Prisma regulată are baza un pătrat.Fie latura acestui pătrat notată cu l.

Înălţimea prismei o notăm cu h.

Aria acestei prisme (fără capac) va fi aria bazei+aria laterală:

Volumul aceleiaşi prisme va fi aria bazei*înălţimea

Ca să aflăm volumul maxim vom deriva V, şi vom afla pentru care valori ale lui l, volumul prismei este maxim.Avem nevoie să exprimăm volumul doar prin latură şi-l avem exprimat prin latură şi înălţime.

Vom exprima înălţimea (h) prn latură.

Ştiind că S=108 , rezultă că:

De unde exprimăm pe h

Înlocuim în  expresia volumului pe h:

Simplificînd obţinem:

Derivăm expresia pentru a găsi pentru care valori ale lui l,volumul este maximal:

La derivare se aplică regula derivării unui produs ,cifra 4 de la numitor este

doar o constantă.

Reducem termenii asemenea şi egalăm cu 0.

Rezolvînd ecuaţia obţinem:

Deci l=6 şi ca să aflăm h înlocuim în formula

Răspuns: l=6dm  h=3dm.

Puteţi să-mi scrieţi problema direct aici. Dacă exerciţiul conţine simboluri speciale pe care nu le puteţi scrie   ca ridicarea la putere , contactaţi-mă pe poşta electronică la robear[aron]gmail[punct]com

Eşti la un concurs.Prezentatorul ,Monty Hall, îţi spune să alegi una din cele 3 uşi care se află în faţa ta.După una dintre ele se află maşina, marele premiu, după celelalte două nu este nimic.Tu alegi o uşă (oricare din cele 3) şi înainte să ţi-o deschidă să vezi dacă ai cîştigat ori nu, prezentatorul spune: stai un pic, eu îţi fac un bine şi din cele două uşi rămase îţi deschid o uşă (prezentatorul ştie ce şi după care uşă se află şi deschide mereu o uşă după care nu este nimic).Recapitulăm, avem uşa pe care-am aleso noi şi celelate două dintre care una, goală este deschisă de prezentator.Acum ne mai întreabă odată.Vreţi să rămîneţi cu alegerea dumneavoastră iniţială ori alegeţi cealaltă uşă.ÎNTREBARE:
Cum veţi proceda:

1.Rămîn la uşa aleasă iniţial.

2.Aleg cealaltă uşă

3.Nu contează, şansele de a găsi maşina sunt 50 /50 .

Rezolvare:

Pentru o înţelegere mai bună a problemei vedeţi întîi http://www.youtube.com/watch?v=mhlc7peGlGg

Întîi vă voi prezenta metoda cea mai simplă şi chiar practică.

Noi am făcut aşa.Am scris pe 3 foiţe  gol gol şi maşină.

Le-am întors invers.Eu eram concurentul.Iniţial am ales să nu schimb şi să merg pe alegerea iniţială.Pentru că din 3 foiţe două erau goale şi eu rămîneam cu alegerea iniţială am cîştigat maşina în 2 din 7 încercări.În schimb dacă după ce eu alegeam şi el înlătura o foiţă goală eu schimbam alegerea iniţială, am cîştigat maşina în 5 cazuri din aceleaşi 7 pentru că de cele mai multe ori nimereşti o foiţă goală şi dacă el înlătură pe ce-a dea doua foiţă goală automat schimbîndu-te cîştigi maşina.

Explicaţia teoretica:

După ce le este deschisă una din cele 2 uşi după care nu este nimic fiind întrebaţi ce vor face majoritatea spun că nu contează(3).De ce?Ei spun că maşina se află fie după uşa aleasă iniţial fie după cealaltă rămasă şi evident 50/50 şanse de cîştig.De fapt lucrurile stau altfel:

Şansele noastre de a nimeri maşina din prima sunt 33% ,una din 3.În momentul în care prezentatorul înlătură o uşă după care nu este nimic şansele noastre nu devin 50 % ci rămîn aceleaşi 33%.Dacă nu ne schimbăm la o altă uşă şansele noastre rămîn aceleaşi 33%(sau după cum vor susţine majoritatea cititorilor 50% deşi matematic este 33%,intuiţia ne duce în eroare).

Dacă alegem însă să ne schimbăm la cealaltă uşă şansele noastre cresc dramatic.De ce?

Păi să zicem că nimerim o uşă goală din prima ,şansele sunt de 66%(două uşi goale din 3).Dacă noi am ales o uşă goală şi prezentatorul înlătură o altă uşă goală(aşa cum rezultă din condiţie) rezultă că  a rămas uşa goală de sub noi şi maşina.Dacă alegem să schimbăm uşa iniţială automat cîştigăm maşina.În 66% din cazuri dacă vom schimba uşa vom cîştiga automat maşina.

Recapitulare:

Dacă nu schimbi ai 33% şanse să cîştigi maşina  iar dacă alegi să schimbi ai 66% să cîştigi maşina.

Notă*:Problema are multe momente fine aşa că vă recomand să studiaţi această dilemă şi pe youtube şi pe wikipedia ,aşa cum voi face şi eu:)

Un fermier are 160 m de gard pentru a îngrădi un lot din patru părţi. Pentru a face suprafaţa lotului cît e posibil de mare, el poate să utilizeze şi un perete sau o parte din peretele hambarului. (Vezi desenul). Determină aria maximală posibilă a lotului obţinut, dacă lungimea hambarului este de 100 m.

Rezolvare:

Notăm cu x lăţimea lotului de pămînt.Notăm cu y înălţimea acestui lot.

Perimetrul total va fi x+y+x=2x+y.Aţi putea crede că este doi 2x+2y dar nu e aşa pentru că o latură a lotului stă în dreptul hambarului.Aşadar 2x+y=160(cei 160 m de gard disponibili).

Aria lotului  S=x*y   unde y=160-2x din ecuaţia anterioară. Rezultă că S=x*(160-2x)  sau

Cercetăm această funcţie să vedem unde se află maximumul ei:

*Notă: Această funcţie are doar un maxim .În continuare cînd vom studia funcţia de gradul doi vom demonstra că funcţia de gradul doi care are semnul minus în faţă are doar maxim.

160-4x=0

x=40(m)

y=160-2x=80m

S=80*40=3200(m.p)

Răspuns :3200 metri pătraţi.

*Nota2: Să se rezolve problema ştiind că hambarul are în lungime 70 de metri.

199*200

de împărţit  27 la 4 sau , de multe ori, la calculul notelor 25 :3

5 :10000 sau

5,325*100000

67*5 sau 115*8  sau 325*8

Cum se face?

Cazul 199*200 se rezolvă cam aşa:

199*200=(200-1)*200=200*200-1*200= 40.000-200=39800

La fel am înmulţi 3*198=3*(200-2)=3*200-3*2=600-6=594

Oricum aţi prins ideea.

Următorul:

Sau cel cu 25:3

Se observă un algoritm desigur.

Următoarele:

5:10000=0.0005

5.325*100000=532500

În cazul împărţirii şi înmulţirii la puteri ale lui 10,există nişte reguli uşoare,care ne spun că la împărţirea unui număr x la o putere a lui 10(condiţia ca x<împărţitorul) vom scrie 0.00000x  astfel încît numărul de cifre de după virgule să fie egal cu numărul de zerouri ale împărţitorului.Mai clar ,  6:100=0.06   unde după virgulă avem 2 cifre pentru că 100 are 2 zerouri.23:1000=0.023 unde după virgulă avem 3 cifre pentru că 1000 are 3 zerouri.

Analog ,la înmulţire,se mută virgula spre dreapta cu atîtea cifre,cîte zerouri are al doilea factor.

Practic 5,325*100000=523500 unde virgula s-a mutat cu 5 cifre spre dreapta pentru că 100000 are 5 zerouri

63,254*100=6325,4  unde virgula s-a mutat cu 2 cifre spre dreapta deoarece 100 are 2 zerouri.

La împărţirea cu puteri ale lui 10 virgula se mută spre stînga iar la la înmulţire spre dreapta cu atîtea cifre,cîte zerouri are numărul la care împărţim/înmulţim.

Următoarele 3 exemple:

67*5=60*5+7*5=300+35=335

115*8=(100+10+5)*8=100*8+10*8+5*8=800+80+40=920

325*8=325*(10-2)=3250-650=2600

Aici am aplicat proprietatea înmulţirii denumită distributivitatea care spune că  (a+b)c=ac+bc

Desigur ajunşi în situaţia de a înmuţi 12345*54321 chiar ne-ar trebui un calculator,dar situaţii de acest gen sunt destul de rare în viaţa de zi cu zi.Oricum,pentru acest tip de calcule s-a inventat plictisitoarea înmulţire în coloniţă

Răspuns:

Să desenăm casele celor 3 vecini A,B şi C(desenul este pur schematic şi nu va influenţa rezultatul final).

Punctul egal depărtat de fiecare casă este punctul de intersecţie al mediatoarelor(mediatoarea este perpendiculara dusă pe mijlocul unui segment,deci fiecare punct de pe mediatoare este egal depărtat de vîrfurile segmentului pe care este dusă) Să desenăm mediatoarele fiecărui segment şi să găsim punctul O(care pentru că aparţine fiecărei mediatoare,este egal depărtat de A,B şi C).În concluzie gospodarii ştiu aproximativ unde ar trebui să se afle   fîntîna.Problema e că nu te apuci să duci perpendiculare imaginare prin împrejurimile casei tale şi în plus le-ar fi cam greu să ducă perpendicularele exact sub 90 de grade.În schimb vecinii pot folosi  formula care spune că   distanţa de la fiecare vîrf al triunghiului pînă la punctul  O este  egală cu abc/4S (vezi alături) unde S este aria triunghiului pe care-l descriu casele lor iar a,b şi c distanţele dintre casele  lor(Pe desen a=AB,b=BC,c=AC).    Să zicem că măsurăm distanţele dintre case,dar ce facem cu aria triunghiului?     Un strălucit matematician a determinat aria triunghiului în dependenţă de lungimile laturilor lui,a,b şi c.Formula arată aşa (nu vă speriaţi,pentru că e foarte simplă):

Pentru un triunghi  ale cărui laturi le cunoaştem formula se aplică foarte uşor.

Am aflat distanţa d de la centrul O pînă la fiecare casă.Acum cei 3 vecini ştiu la ce distanţă de casele lor trebuie să se afle fîntîna.Trebuie să găsească un punct care este situat la aceiaşi distanţă de fiecare dintre ei.Aici totul ţine de inventivitate.Ar putea să ia fiecare cîte un fir cu lungimea calculată şi să-l lege de-un capăt de gard iar cu celălalt în mîină să meargă fiecare spre celălalt astfel încît în momentul cînd se vor întîlni firul va fi perfect întins iar ei se vor afla în punctul O pe care-l căutau.Altă idee ar fi  să ia un fir de două ori mai lung decît distanţa calculată pînă la centru şi să-l lege de două case şi să-l apuce de mijloc şi să-l tragă înspre a 3-a casă.Atunci cînd firul va fi perfect întins va arăta ca o săgeată iar vîrful acestei săgeţi va repezenta locul unde trebuieşte construită fîntîna.