Iulian :

Dintr-o bila de otel cu raza de 17 cm se strunjeste o piesa de forma unui con circular drept, astfel incit pierderile de metal sint minime. Calculati raza bazei piesei obtinute. (Teste BAC, Testul 10, Ex. 12)

Vom face un mic desen.

Avem un con circular drept înscris într-o sferă. Raza sferei o notăm cu R . Raza conului cu r. Unghiul dintre cele două cu alhpa.
Conform formulei,volumul conului este:

Unde r-raza conului iar h înălţimea lui.
Înălţimea conului de faţă va fi egală cu x+R(sper că se observă de pe desen) iar raza lui am notat-o cu r.
Deci

Nu ne rămîne decît să exprimăm x şi r prin R .În acest scop am introdus unghiul alfa.
Din desen se observă că:
şi că

Înlocuim cele două valori în formula pentru volum.

Acum, avem expresia pentru volum exprimată prin R şi alha unde R=17cm deci avem o singură necunoscută,alfa.
Rescriem un pic formula pentru volum şi o derivăm.

Acum vom extrage constantele în faţa parantezei: adică pi R şi 3

Acum Observăm că constantele pot fi lăsate într-o parte şi nu avem decît să derivăm volumul în dependenţă de unghiul alfa.VOm deriva după regula derivării unui produs:

Extrăgînd sin(alfa) în faţa parantezei:

Scriind că

Înmulţim parantezele între ele şi în final obţinem:

Singurul pas rămas este determinarea semnelor şi stabilirea punctului în care derivata este maximă.
Una din condiţii pentru maximumul funcţii este ca derivata să fie egală cu 0.
Derivata noastră poate fi nulă fie atunci cînd sin(alfa)=0 fie cînd expresia din paranteză este 0.
Sinus de alfa este 0 în 0 şi în pi. Aşa cum unghiul alfa nu are dreptul în cazul nostru să ia nici valoarea 0 nici pi deducem că sin(alfa) nu poate fi egal cu 0.Dacă alfa ar fi 0 sau pi(180*) atunci conul înscris în sferă nici măcar nu există.
Trebuie prin urmare să rezolvăm ecuaţia de gradul 2:

Fără a face substituţia t=cos(alfa) scriu deodată că soluţiile acestei ecuaţii sunt
şi

Dintre acestea două ne satisface soluţia întîi ,pentru că ea reprezintă un maxim al funcţiei,cea de-a doua reprezentînd un minim.
Ştiind că
dar şi că:
Deducem că:

Ori că
Acum revenim la început.

deci

Eşti la un concurs.Prezentatorul ,Monty Hall, îţi spune să alegi una din cele 3 uşi care se află în faţa ta.După una dintre ele se află maşina, marele premiu, după celelalte două nu este nimic.Tu alegi o uşă (oricare din cele 3) şi înainte să ţi-o deschidă să vezi dacă ai cîştigat ori nu, prezentatorul spune: stai un pic, eu îţi fac un bine şi din cele două uşi rămase îţi deschid o uşă (prezentatorul ştie ce şi după care uşă se află şi deschide mereu o uşă după care nu este nimic).Recapitulăm, avem uşa pe care-am aleso noi şi celelate două dintre care una, goală este deschisă de prezentator.Acum ne mai întreabă odată.Vreţi să rămîneţi cu alegerea dumneavoastră iniţială ori alegeţi cealaltă uşă.ÎNTREBARE:
Cum veţi proceda:

1.Rămîn la uşa aleasă iniţial.

2.Aleg cealaltă uşă

3.Nu contează, şansele de a găsi maşina sunt 50 /50 .

Rezolvare:

Pentru o înţelegere mai bună a problemei vedeţi întîi http://www.youtube.com/watch?v=mhlc7peGlGg

Întîi vă voi prezenta metoda cea mai simplă şi chiar practică.

Noi am făcut aşa.Am scris pe 3 foiţe  gol gol şi maşină.

Le-am întors invers.Eu eram concurentul.Iniţial am ales să nu schimb şi să merg pe alegerea iniţială.Pentru că din 3 foiţe două erau goale şi eu rămîneam cu alegerea iniţială am cîştigat maşina în 2 din 7 încercări.În schimb dacă după ce eu alegeam şi el înlătura o foiţă goală eu schimbam alegerea iniţială, am cîştigat maşina în 5 cazuri din aceleaşi 7 pentru că de cele mai multe ori nimereşti o foiţă goală şi dacă el înlătură pe ce-a dea doua foiţă goală automat schimbîndu-te cîştigi maşina.

Explicaţia teoretica:

După ce le este deschisă una din cele 2 uşi după care nu este nimic fiind întrebaţi ce vor face majoritatea spun că nu contează(3).De ce?Ei spun că maşina se află fie după uşa aleasă iniţial fie după cealaltă rămasă şi evident 50/50 şanse de cîştig.De fapt lucrurile stau altfel:

Şansele noastre de a nimeri maşina din prima sunt 33% ,una din 3.În momentul în care prezentatorul înlătură o uşă după care nu este nimic şansele noastre nu devin 50 % ci rămîn aceleaşi 33%.Dacă nu ne schimbăm la o altă uşă şansele noastre rămîn aceleaşi 33%(sau după cum vor susţine majoritatea cititorilor 50% deşi matematic este 33%,intuiţia ne duce în eroare).

Dacă alegem însă să ne schimbăm la cealaltă uşă şansele noastre cresc dramatic.De ce?

Păi să zicem că nimerim o uşă goală din prima ,şansele sunt de 66%(două uşi goale din 3).Dacă noi am ales o uşă goală şi prezentatorul înlătură o altă uşă goală(aşa cum rezultă din condiţie) rezultă că  a rămas uşa goală de sub noi şi maşina.Dacă alegem să schimbăm uşa iniţială automat cîştigăm maşina.În 66% din cazuri dacă vom schimba uşa vom cîştiga automat maşina.

Recapitulare:

Dacă nu schimbi ai 33% şanse să cîştigi maşina  iar dacă alegi să schimbi ai 66% să cîştigi maşina.

Notă*:Problema are multe momente fine aşa că vă recomand să studiaţi această dilemă şi pe youtube şi pe wikipedia ,aşa cum voi face şi eu:)

Un fermier are 160 m de gard pentru a îngrădi un lot din patru părţi. Pentru a face suprafaţa lotului cît e posibil de mare, el poate să utilizeze şi un perete sau o parte din peretele hambarului. (Vezi desenul). Determină aria maximală posibilă a lotului obţinut, dacă lungimea hambarului este de 100 m.

Rezolvare:

Notăm cu x lăţimea lotului de pămînt.Notăm cu y înălţimea acestui lot.

Perimetrul total va fi x+y+x=2x+y.Aţi putea crede că este doi 2x+2y dar nu e aşa pentru că o latură a lotului stă în dreptul hambarului.Aşadar 2x+y=160(cei 160 m de gard disponibili).

Aria lotului  S=x*y   unde y=160-2x din ecuaţia anterioară. Rezultă că S=x*(160-2x)  sau

Cercetăm această funcţie să vedem unde se află maximumul ei:

*Notă: Această funcţie are doar un maxim .În continuare cînd vom studia funcţia de gradul doi vom demonstra că funcţia de gradul doi care are semnul minus în faţă are doar maxim.

160-4x=0

x=40(m)

y=160-2x=80m

S=80*40=3200(m.p)

Răspuns :3200 metri pătraţi.

*Nota2: Să se rezolve problema ştiind că hambarul are în lungime 70 de metri.

Urmărind acest principiu am să-mi laud şi eu ştiinţa preferată,matematica(adio obiectivitate).Matematica are o istorie destul de veche.Cel puţin wikipedia ne spune că s-au găsit nişte oase cu calcule matematice,datate cu 20.000 de ani a.Chr.Oricum,primii despre care ştim că s-a priceput la a calcula cu adevărat,sunt babilonienii.Foloseau tăbliţe de lut pentru a inscripţiona informaţiile.Următorii au fost egiptenii,care cică au învăţat să calculeze şi aria trunchiului de piramidă şamd.Majoritatea vechilor inscripţii demonstrează că teorema ştiută astăzi drept teorema lui Pitagora ,era cunoscută în antichitate.Trecînd direct la momentele importante ale matematicii,să menţionăm vechii greci.Începem cu Thales din Milet(624-546).Probabil cunoaşteţi teorema lui thales,care spune că drepte paralele determină pe două secante segmente proporţionale.Minte luminată,teoremă bună,aplauze vă rog!.Urmează Pitagora(582-507).Aici e evident că vorbim despre teorema lui Pitagora,care se zice c-ar fi inventat-o,deşi au folosit-o şi alţii anterior într-o formă sau alta.De asemnea cei din şcoala pitagoreică au descoperit şi pătratul numerelor.Avînd în vedere că e cel mai vestit,nota 10.Urmează Aristotel(384-322) care pune bazele logicii iar după el Euclid.În caz că nu ştiaţi,în şcoală ni se predă 10-12 ani,doar geometrie Euclidiană(da,există alte tipuri de geometrie).În volumele lui,numite elemente,el sumează toate cunoştinţele existente într-o lucrare coerentă.Aţi fi putut auzi la orele de matematică despre algoritmul de determinare a celui mai mare divizor comun al lui Euclid.Pentru că este de facto părintele matematicii,Euclid primeşte medalia de onoare.Un alt grec strălucit este Arhimede(da,de el este legată forţa arhimede).În primul rînd el inventează ceea ce numim şurubul lui arhimede,un dispozitiv asemănător cu un şurub care învîrtindu-se într-un cilindru pompează apa,sau orice alt lichid/solid.În al doilea rînd a descoperit forţa care-i poartă numele,forţa arhimede,care împinge în sens contrar forţei de greutate corpurile aflate în lichid(poate v-aţi întrebat de ce plutesc corăbiile vreodată..) cu o forţă egală cu greutatea apei pe care o dezlocuieşte corpul aflat în apă…

Intrăm în ceaţă timp de 1500 .De aici înfloreşte matematica.

Rene Descartes pune bazele geometriei analitice.Pentru că de 5 ani tot îi desenez sistemul cartezian de coordonate,pentru că aşa am demonstrat formulele pentru aria şi volumul cercului,conului,sferei ş.a.m.d şi pentru că funcţiile sunt fascinante şi sunt utilizate intens în matematică şi informatică şi economie,mă-nchin în faţa sa.

Blaise Pascal şi  Pierre de Fermat se ocupă de teoria probabilităţii.Dacă vă pasionează jocurile de noroc,v-ar folosi.

Isaac Newton.Ei bine,un moment de tăcere în amintirea lui.Deşi consider că toţi oamenii sunt egali şi au posibilităţi egale de dezvoltare,Newton primeşte denumirea de Geniu.Începînd cu calculul integral , integrala definită şi legile lui newton care descriu extraordinar de precis mişcarea pe orbite a planetelor, Newton nu face decît minuni.Am menţionat cele 3 legi ale lui Newton?Am uitat cumva de legea atracţiei universale?Mintea potrivită la locul potrivit,Isaac Newton merită toate omagiile. Şi ca să nu uit,newton a arătat cum poate fi ridicată o sumă de numere la orice putere, ceea ce se cunoaşte în matematică drept binomul lui newton.

În continuare avînd bazele bine puse matematicienii au fost în stare să dezvolte cele mai minunate teorii.Fizicienii le-au aplicat şi a rezultat lumea internetului şi calculatoarelor de astăzi.Informaticienii cred,sunt cei care apreciază direct rostul matematicii.În caz că nu ştiaţi,toată informaţia digitală este stocată sub formă de 0 şi 1.Începînd cu texte,terminînd cu filmele,toate sunt transformate din cifre în imagini,prin intermediul matematicii.Mă bucur că m-am născut într-o eră a dezvoltării fabuloase,a acestei ştiinţe şi pot aprecia astăzi matematica în toată frumuseţea ei.

199*200

de împărţit  27 la 4 sau , de multe ori, la calculul notelor 25 :3

5 :10000 sau

5,325*100000

67*5 sau 115*8  sau 325*8

Cum se face?

Cazul 199*200 se rezolvă cam aşa:

199*200=(200-1)*200=200*200-1*200= 40.000-200=39800

La fel am înmulţi 3*198=3*(200-2)=3*200-3*2=600-6=594

Oricum aţi prins ideea.

Următorul:

Sau cel cu 25:3

Se observă un algoritm desigur.

Următoarele:

5:10000=0.0005

5.325*100000=532500

În cazul împărţirii şi înmulţirii la puteri ale lui 10,există nişte reguli uşoare,care ne spun că la împărţirea unui număr x la o putere a lui 10(condiţia ca x<împărţitorul) vom scrie 0.00000x  astfel încît numărul de cifre de după virgule să fie egal cu numărul de zerouri ale împărţitorului.Mai clar ,  6:100=0.06   unde după virgulă avem 2 cifre pentru că 100 are 2 zerouri.23:1000=0.023 unde după virgulă avem 3 cifre pentru că 1000 are 3 zerouri.

Analog ,la înmulţire,se mută virgula spre dreapta cu atîtea cifre,cîte zerouri are al doilea factor.

Practic 5,325*100000=523500 unde virgula s-a mutat cu 5 cifre spre dreapta pentru că 100000 are 5 zerouri

63,254*100=6325,4  unde virgula s-a mutat cu 2 cifre spre dreapta deoarece 100 are 2 zerouri.

La împărţirea cu puteri ale lui 10 virgula se mută spre stînga iar la la înmulţire spre dreapta cu atîtea cifre,cîte zerouri are numărul la care împărţim/înmulţim.

Următoarele 3 exemple:

67*5=60*5+7*5=300+35=335

115*8=(100+10+5)*8=100*8+10*8+5*8=800+80+40=920

325*8=325*(10-2)=3250-650=2600

Aici am aplicat proprietatea înmulţirii denumită distributivitatea care spune că  (a+b)c=ac+bc

Desigur ajunşi în situaţia de a înmuţi 12345*54321 chiar ne-ar trebui un calculator,dar situaţii de acest gen sunt destul de rare în viaţa de zi cu zi.Oricum,pentru acest tip de calcule s-a inventat plictisitoarea înmulţire în coloniţă

Răspuns:

Fixînd un moment în viaţa ei putem afirma că la 6 ani după acel moment mama va fi de 4 ori mai bătrînă decît fiul ei.Întrebări:

1.Ce vîrstă avea femeia la momentul fixat?

2.Unde se afla tatăl copilului la momentul fixat?

Răspuns:Să notăm vîrsta copilului cu x.Femeia va avea vîrsta 15,75+x.Peste 6 ani de la un oarecare moment femeia va avea 15,75+x+6 iar copilul x+6 şi  ştiind  că peste 6 ani femeia va fi de 4 ori mai bătrînă decît copilul ei:

Înmulţim în cruce    

Vîrsta femeii este x+15,75 deci 15 ani.  Ciudat este că copilul are -.075 ani sau -9 luni.Niciodată însă,nu am spus că la momentul dat de timp copilul se născuse deja.Am răspuns la prima întrebare:15 ani.La a doua întrebare vă las să răspundeţi singuri ştiind că  femeia naşte la 15,75 ani  şi că în momentul fixat ea avea 15 ani,deci încă 9 luni(0,75 ani) pînă la naştere.