Rezolvare:

Funcţia f(x) trebuie să îndeplinească cîteva condiţii concomitent.

A(2,0) să aparţină graficului acestei funcţii, în acest sens vom înlocui în loc de x, valoarea 2 şi în loc de f(x) ,valoarea 0.

Funcţia să fie strict crescătoare ,lucru pentru care după cum am stabilit aici dar şi aici

este nevoie ca panta funcţiei (numărul din faţa lui x) să fie pozitiv. În cazul de faţă acesta este k deci k>0

În continuare vom înlocui în loc de x 2 şi în loc de f(x) ,0 .

Deschidem paranteza şi reducem termenii asemenea:

Rezolvăm ecuaţia de gradul fie prin teorema lui viete fie prin metoda determinantului şi obţinem , două soluţii
k=-2 şi k=3 . Aşa cum am avut însă şi condiţia iniţială ca k>0 rezultă că răspunsul este k=3.
Răspuns : k=3

Rezolvare:

Faptul că o funcţie admite un extrem local pe un interval înseamnă ,desigur, că derivata acestei funcţii este egală cu 0 pe intervalul dat.Să derivăm funcţia f(x) şi să aflăm pentru care valori ale lui x derivata funcţiei este egală cu 0 , acelea fiind şi valorile pentru care funcţia va avea un extrem local.

Vom deriva funcţia  conform regulei derivării unui raport:

Pentru ca derivata să fie egală cu 0  trebuie ca partea de la numărător( de deasupra) a fracţiei să fie egală cu 0.

Vom scoate factorul comun în faţa parantezei :

Ecuaţia de mai sus are soluţiile x=0 şi x=6 (înlocuiţi şi veţi vedea că este egală cu 0).

Acum , revenim la condiţia iniţială .Dacă pe intervalul [a; a+7] are un extrem local înseamnă că intervalul dat trebuie să conţină măcar unul din cele două puncte (x=0 şi x=6). Dacă ,să zicem am lua a=7 atunci vom avea intervalul [7;14] interval pe care funcţia nu va avea extreme locale( pentru că nu conţine nici una din cele două valori , 0 şi 6).

Logica ne sugerează că , constanta a , trebuie să fie mai mică (sau egală) cu 6. Respectiv dacă a=6 pe intervalul [6;13] funcţia va avea un extrem local acela fiind 6.

În schimb dacă a va fi egal cu -10 intervalul va fi [-10 ;-3]  şi  din nou funcţia nu va avea extreme locale.Pentru ca funcţia să aibă extreme locale în acest interval trebuie să intre şi numărul 0 care este unul din punctele de extrem local. Prin deducţie ne dăm seama că a poate fi cel puţin -7 astfel încît intervalul să fie [-7;0]

În concluzie , a aparţine [-7;6]

Notă : Verificaţi că pentru orice valoare a lui a din intervalul găsit intervalul [a;a+7] conţine unul din cele două puncte de extrem local .

Rezolvare:

Teoria despre asimptotele oblice, verticale şi orizontale o voi scrie cît  de curînd.

Asimptote verticale:

Le căutăm în punctele de discontinuitate ale funcţiei. Pentru cazul dat acesta este punctul x=-2 ,pentru x=-2 funcţia f(x)=(x-2)/(x+2) nu este definită.

Pentru a verifica dacă funcţia are asimptotă  verticală în punctul x=-2 vom cerceta  limita de stînga şi limita de dreapta ale funcţiei atunci cînd x tinde la -2.Dacă aceste valori sunt +- infinit funcţia are asimptotă verticală.

Limita de dreapta se calculează ca limita cînd x tinde la -2 dar x>-2.

Intuitiv ,limita de stînga se va calcula cînd x tinde la -2 dar  x<-2.

Limita de stînga este egală cu -infinit.

Funcţia are asimptotă verticală pentru x=-2.

Asimptote orizontale:

Funcţia are asimptotă orizontală y=1  sau f(x)=1

Asimptote oblice.

Ecuaţia generală a asimptotei oblice este y=mx+n unde m şi n se calculează după formula

Notăm că m trebuie să aibă o valoare finită (adică valorile  +-infinit sau 0 pentru m indică faptul că funcţia nu are asimptotă oblică).

Să calculăm care este m:
Este evident că limita de stînga şi dreapta atunci cînd x tinde la -2 sunt -infinit şi +infinit şi de asemenea este evident că funcţia nu trece peste dreapta y=-1(desenată cu roşu)

m=0 ,deci funcţia nu are asimptote oblice.

Să privim graficul funcţiei f(x)=(x-2)/(x+2) şi să ne convingem că funcţia are într-adevăr aceste asimptote:

Se observă pe grafic că funcţia tinde la dreptele y=1 şi x=-2 (cele determinate de noi anterior) ceea ce înseamnă că am calculat corect.

1.Zeroul

2.Monotonia,panta,semnele.

3.Intersecţia cu axele.

Funcţiile pe care am promis că le voi analiza sunt

f1(x)=2x

f2(x)=-2x

f3(x)=2x+1

f4(x)=-2x+1

Rezolvare:

Voi trata primele două funcţii în paralel pentru o comparaţie bună

1.Zeroul:

f1(x)=2x ; f1(x)=0;   2x=0  >> x=0  f(0)=2*0=0

f2(x)=-2x ; f2(x)=0 ; -2x=0 >> x=0 f(0)=-2*0=0

După cum se  vede ambele funcţii au intersecţia cu axa Ox în punctul  x=0 y=0 sau (o;o).Orice funcţie de forma f(x)=ax trece prin punctul (0;0) originea sistemului cartezian de coordonate).

2.Monotonia,panta ,semnele.

f1(x)=2x.  Această  funcţie are panta (a=2) pozitivă deci  este crescătoare.Pînă în punctul (0;0) ea va fi negativă după acest punct pozitivă).

f2(x)=2x. Această funcţie însă are panta (a=-2) negativă şi este descrescătoare.Pînă în (0;0) este pozitivă după care ea este negativă.

3.Intersecţia cu axele.

Întrucît am determinat deja intersecţia cu axa Ox(zeroul) la punctul 1 vom purcede la intersecţia cu Oy.Acolo unde o funcţie intersectează axa Oy coordonata x a acesteia este =0.

În cazul funcţiilor noastre acesta  pentru x=0 f(x)=2*0=0

Rezultă că funcţia de forma ax este crescătoare sau descrescătoare în dependenţă de panta a şi trece prin originea sistemului cartezian.

Grafic cele două funcţii vor arăta aşa(cu verde f1(x)=2x cu roşu f2(x)=-2x):

Graficul unei funcţii liniare se construieşte cunoscînd două puncte pentru c ă din geometrie ştim că prin două puncte se poate de trasat doar o dreaptă.Unul dintre cele două punte a fost O(0;0).Celălalt punct l-am ales dîndu-i valori lui x.Pentru f1(x) am ales punctul x=1. f1(1)=2*1=2 .Punctul găsit a fost (1;2) şi l-am pus pe grafic şi am trasat o dreaptă prin punctele găsite.

Pentru f2(x) am ales punctul x=-1 şi f2(-1)=-2*(-1)=2 şi am plasat analog pe grafic punctul (-1;2).

Cercetăm funcţiile f3(x)=2x+1 şi f4(x)=-2x-1 .

1.Zeroul

f3(x)=2x+1; f3(x)=0;2x+1=0>> x=-1/2

f4(x)=-2x-1 ; f4(x)=0 ; -2x+1 =0 >> x=1/2

2.Monotonia,panta,semnele.

Prima funcţie are panta pozitivă (a=2) deci este crescătoare.A doua este descrescătoare (a=-2).

Semnele acestor două funcţii vor fi minus pînă la zerou şi plus în continuare pentru f3(x) şi plus pînă la zerou şi minus mai departe pentru f4(x)

3.Intersecţia cu axele.

Intersecţia cu axa Oy este atunci cînd x=0 după cum am stabilit deja.

f3(0)=2*0+1=1

f4(0)=-2*0+1=1

După cum vom observa şi pe grafic aceste două funcţii ca şi cele precedente sunt simetrice faţă de axa Oy .

1.Semnele funcţiei

Acest subpunct presupune determinarea intervalelor pe care funcţia f(x) are valori pozitive şi a celor pentru care funcţia ia valori negative.  Pentru funcţia clasică de gradul I există două intervale, unul pentru care funcţia ia valori pozitive şi unul pentru care funcţia este negativă.

2.Zerourile funcţiei.

Se numeşte zerou al funcţiei f(x) numărul x1 care transformă funcţia în 0. Altfel scris dacă avem funţia liniară ax+b atunci zerou al acestei funcţii este numărul x1 care  o egalează cu 0.  ax+b=0  de unde x1=-b/a. De fapt ultima formulă este formula generală de determinare a zeroului funcţiei de gradul I dacă aceasta are zerouri.

3.Monotonie.

Monotonia reprezintă creşterea sau descreşterea unei funcţii. Vom numi o funcţie monoton crescătoare sau monoton descrescătoare dacă ea creşte şi respectiv descreşte. Vom numi o funcţie strict crescătoare dacă ea creşte dar nu este niciodată paralelă cu axa Ox şi analog,  strict descrescătoare.  Funcţia de gradul întîi de forma ax+b unde a este diferit de 0 este o funcţie monotonă, strict crescătoare sau descrescătoare în dependenţă de a.  Funţia  f(x)=a este o funţie constantă.

4.Panta.

Panta unei funcţii de forma f(x)=ax+b o reprezintă numărul a. După cum am stabilit în prima cercetare a funcţiilor liniare dacă a>0 atunci funcţia este crescătoare dacă a<0 funcţia este descrescătoare.

Se mai întîlneşte la funcţiile liniare notaţia  ax+by+c=0  în geometria analitică. Aceasta însă nu este  nimic altceva decît o reinterpretare a formei f(x)=ax+b.Să demonstrăm acest lucru:
ax+by+c=0

by=-ax-c

y=(-ax)/b -c/b  .Să comparăm această ecuaţie cu cea anterioară( f(x)=ax+b) doar că în loc de f(x) punem y.

y=ax+b  . Observăm că funcţiile sunt practic identice şi variază numai coeficienţii(constantele a şi b care apar în ambele funcţii pot induce  confuzie şi aş fi putut să notez funcţia generală de gradul I cu dx+e pentru ca să nu avem coeficienţi identici în cele două funcţii, doar că nu am dorit să ne abatem de la forma generală ax+b)

5.Intersecţia cu axele Ox şi Oy.

O funcţie care se intersectează cu axa ox este caracterizată de y=0 iar cea care se intersectează cu axa Oy are x=0

Pentru funcţia liniară  intersecţia cu Ox :  ax+b=0   x=-b/a  iar intersecţia cu Oy : x=0 deci y=a*0+b, de unde y=b.

Data viitoare vom caracteriza patru funcţii model care să vă ofere o idee generală despre ele.

f1(x)=2x

f2(x)=-2x

f3(x)=2x+1

f4(x)=-2x-1

Conform definiţiei învăţate în clasele mai mici o funcţie  reprezintă o legitate conform fiecărui element din mulţimea X i se asociază un singur element din mulţimea Y. În termeni mai clari, avînd două cercuri, în primul avem mulţimea x-ilor şi în a doua cea a y-lor atunci trebuie ca fiecărui x să-i revină  un singur y.

Alături vedeţi o diagramă unde fiecărui x(1,2 şi 3) îi corespunde un singur y. Legitatea, necesară pentru existenţa funcţiei sunt săgeţile care indică care element şi cui îi corespunde. Dacă unui x îi corespund două valori din coloana a doua  sau dacă unui element din mulţimea X  nu-i corespunde unul din mulţimea Y atunci aceasta nu mai poate fi numită o funcţie. (vezi desenul mai jos, lui 3 nu-i corespunde nici un y iar lui 2 îi corespund două valori a şi b, două motive,pentru care aceasta nu reprezintă o funcţie.).

Însă în cazul unei funcţii cu un număr infinit de elemente în mulţimea x, presimt că ar trebui să desenăm cam multe săgeţi. De aceea utilizăm în matematică altă metodă, numită metoda analitică. Specificăm o relaţie dintre x şi y şi pentru orice x nu avem decît să calculăm valoarea lui y într-un tabel. Să zicem că oricare ar fi preţul de producţie al unei maşini preţul de vînzare va fi dublu. Notăm cu x preţul de producţie al maşinii şi y preţul de vînzare. Prin urmare y=2x şi dacă maşina costă 1000$ atunci preţul de vînzare este, logic , 2000$.  Sigur dacă ne-am apuca să desenăm o diagramă ca cele de mai sus ar fi cam dificil şi nici nu aş acoperi fiecare valoare a lui x.  Aici intervine sistemul cartezian de coordonate.

Sunt cîteva elemente necesare pentru desenarea unui asemenea sistem. Originea -O,  axa x şi axa y care sunt perpendiculare una pe alta. Unitatea care reprezintă un fel de scară a sistemului.  Cifrele 2,3,4 şi 2 de pe axele  x şi y le-am pus pentru exemplificare doar. Cifrele 1 şi 1 sunt necesare pentru că determină scara sistemului.  Prin ce este util acest sistem? Ne întoarcem la exemplul cu y=2x . dacă x=1 y=2;x=2 y=4;x=-1 y=-2;

Fiecare din cele 3 perechi formate reprezintă un punct.  Punctul A  este caracterizat de x=1 y=2 punctul B de x=2 y=4 iar punctul C de x=-1 y=-2. Altfel scris A(1,2) B(2,4) C(-1,-2). Acest puncte au loc bine stabilit pe acest grafic. Punctul A se găseşte la intersecţia perpendicularei duse pe x în puntul 1 şi a perpendicularei duse pe y în punctul 2. La fel cu punctele B şi C, priviţi desenul:

Punctul C, l-am pus la intersecţia perpendicularei duse pe -1 şi pe -2. Dacă am mai continua să-i dăm diferite valori lui x,fie negative fie pozitive,sau fracţionare ori chiar iraţionale vom observa că toate punctele se vor situa pe o linie.

Ei bine din cauză că toate punctele care respectă condiţia y=2x sunt situate pe o linie numim această funcţie, funcţia liniară. Se mai practică notaţia

f(x)=2x unde f(x)=valoarea funcţiei, f (x)=y. În continuare vom folosi exclusiv notaţia f(x). Deci linia roşie din ultimul desen reprezintă funcţia liniară f(x)=2x. Forma generală a acestei funcţii este f(x)=ax+b unde a şi b sunt numere reale, să zicem f(x)=x+1 sau f(x)=2x-9 sau f(x)=x  .Numărul din faţa lui x, se numeşte panta funcţiei. Panta poate fi atît negativă cît şi pozitivă. În dependenţă de pantă funcţia liniară este crescătoare sau descrescătoare. Dacă a este pozitiv(de exemplu pentru f(x)=2x-9,a=2,deci pozitiv) funcţia creşte iar dacă a este negativ(spre exemplu f(x)=-x+4,a=-1) atunci funcţia descreşte. Pentru a înţelege ce înseamnă funcţie crescătoare şi descrescătoare priviţi desenul de mai jos. Funcţiile desenate cu verde cresc,deci au panta pozitivă iar funcţiile desenate cu roşu descresc,deci au panta negativă:

Funcţiile care  sunt egale cu o constantă sunt perpendiculare pe axa Oy. Funcţia f(x)=2(observaţi că termenul cu x dispare deoarece a=0) este o linie perpendiculară pe axa Oy în punctul y=2 . Mai există un caz special ,x=a,unde a este o constantă.Spre exemplu x=2 este o linie perpendiculară pe 2,aceasta nefiind o funcţie în sensul clasic însă.

Vedeţi în desenul din dreapta desenată funcţia f(x)=2 şi  dreapta x=2.Analog se desenează alte drepte de acest tip.

Acolo unde funcţia se intersectează cu axa Ox,valorea lui y este 0. Verificaţi orice punct de pe axa Ox şi o să vedeţi că lui îi corespunde y=0. Altfel spus pentru y=2x acolo unde se intersectează această linie cu Ox y=0 prin urmare şi 2x=0 sau x=0. În concluzie pentru x=0 y=0(să-i spunem punctul M(0,0) )dreapta de ecuaţie y=2x se intersectează cu axa Ox.

Analog se rezolvă orice altă problemă de acest tip. Să se afle locul de intersecţie cu Ox al funcţiei f(x)=5x-4.

5x-4=0

5x=4

x=4/5.

Punctul(ele) unde funţia se intersectează cu axa Ox se mai numesc şi rădăcini ale ecuaţiei liniare sau soluţii ale ecuaţiei.

Un alt punct important de pe graficul funţiei liniare este punctul de intersecţie cu Oy. Din nou pentru orice punct de pe Oy, x=0(verificaţi pe grafic) deci pentru funcţia f(x)=5x-4   punctul de intersecţia cu Oy va fi x=0 y=5*0-4=-4.

Cazul general spune aşa, punctul de intersecţie cu Ox este x=-b/a iar punctul de intersecţie cu Oy este y=b.

Să verificăm această afirmaţie.f(x)=9x-1

1.Punctul de intersecţie cu Ox este -b/a sau  -(-1)/9=1/9

2.Punctul de intersecţie cu Oy este b sau -1.

Dacă am desena pe grafic funcţia f(x)=9x-1 punctele de intersecţie cu axele vor fi 1/9 şi -1 exact aşa cum am calculat.