Problemă de optimizare,Pregătire pentru BACalaureat 2008.

Home > Calcul matematic, Dificile, Geometrie, Matematica distractivă > Problemă de optimizare,Pregătire pentru BACalaureat 2008.

Problemă de optimizare,Pregătire pentru BACalaureat 2008.

May 3rd, 2009

Goto comments Leave a comment

Iulian :

Dintr-o bila de otel cu raza de 17 cm se strunjeste o piesa de forma unui con circular drept, astfel incit pierderile de metal sint minime. Calculati raza bazei piesei obtinute. (Teste BAC, Testul 10, Ex. 12)

Vom face un mic desen.

Avem un con circular drept înscris într-o sferă. Raza sferei o notăm cu R . Raza conului cu r. Unghiul dintre cele două cu alhpa.
Conform formulei,volumul conului este:
$V=\frac{1}{3}\pi r^2*h$
Unde r-raza conului iar h înălţimea lui.
Înălţimea conului de faţă va fi egală cu x+R(sper că se observă de pe desen) iar raza lui am notat-o cu r.
Deci
$V=\frac{1}{3}\pi r^2*(x+R)$
Nu ne rămîne decît să exprimăm x şi r prin R .În acest scop am introdus unghiul alfa.
Din desen se observă că:
$sin(\alpha)=\frac{r}{R}=>r=Rsin(\alpha)$ şi că $cos(\alpha)=\frac{x}{R} => x=Rcos(\alpha)$

Înlocuim cele două valori în formula pentru volum.
$V=\frac{1}{3}\pi (Rsin(\alpha))^2*(Rcos(\alpha)+R)$
Acum, avem expresia pentru volum exprimată prin R şi alha unde R=17cm deci avem o singură necunoscută,alfa.
Rescriem un pic formula pentru volum şi o derivăm.
$V=\frac{1}{3}\pi *R^2sin^2(\alpha)*R(cos(\alpha)+1)$
Acum vom extrage constantele în faţa parantezei: adică pi R şi 3
$V=\frac{R^3}{3}\pi *sin^2(\alpha)*(cos(\alpha)+1)$
Acum Observăm că constantele pot fi lăsate într-o parte şi nu avem decît să derivăm volumul în dependenţă de unghiul alfa.VOm deriva după regula derivării unui produs:
$V'=\frac{R^3}{3}\pi *[2sin(\alpha)cos(\alpha)(1+cos(\alpha))-sin^2(\alpha)*sin(\alpha)]$
Extrăgînd sin(alfa) în faţa parantezei:
$V'=\frac{R^3}{3}\pi sin(\alpha)[2cos(\alpha)(1+cos(\alpha))-sin^2(\alpha)]$
Scriind că $sin^2\alpha=1-cos^2\alpha$

$V'=\frac{R^3}{3}\pi sin\alpha[2cos\alpha(1+cos\alpha)-(1-cos^2(\alpha)]$
Înmulţim parantezele între ele şi în final obţinem:
$V'=\frac{R^3}{3}\pi sin\alpha[3cos^2\alpha+2cos\alpha-1]$
Singurul pas rămas este determinarea semnelor şi stabilirea punctului în care derivata este maximă.
Una din condiţii pentru maximumul funcţii este ca derivata să fie egală cu 0.
Derivata noastră poate fi nulă fie atunci cînd sin(alfa)=0 fie cînd expresia din paranteză este 0.
Sinus de alfa este 0 în 0 şi în pi. Aşa cum unghiul alfa nu are dreptul în cazul nostru să ia nici valoarea 0 nici pi deducem că sin(alfa) nu poate fi egal cu 0.Dacă alfa ar fi 0 sau pi(180*) atunci conul înscris în sferă nici măcar nu există.
Trebuie prin urmare să rezolvăm ecuaţia de gradul 2:
$3cos^2\alpha+2cos\alpha-1$
Fără a face substituţia t=cos(alfa) scriu deodată că soluţiile acestei ecuaţii sunt
$cos\alpha=\frac{1}{3}$ şi
$cos\alpha=-1$
Dintre acestea două ne satisface soluţia întîi ,pentru că ea reprezintă un maxim al funcţiei,cea de-a doua reprezentînd un minim.
Ştiind că
$cos\alpha=\frac{1}{3}$ dar şi că: $sin^2\alpha=1-cos^2\alpha$
Deducem că:
$sin^2\alpha=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$
Ori că $sin\alpha=\frac{\sqrt{8}}{3}$
Acum revenim la început.
$r=Rsin(\alpha)$
deci $r=R*\frac{\sqrt{8}}{3}=\frac{17\sqrt{8}}{3}$

Ursul Calcul matematic, Dificile, Geometrie, Matematica distractivă rezolvare exercitii matematica

Comments (6) Trackbacks (1) Leave a comment Trackback

BAC2009

May 5th, 2009 at 11:49 | #1

Reply | Quote

pentru cei care nu iubesc cos si sin este o rezolvare mai simpla
se fac notarile doar cu x si r
deci o sa fie V = (pi*r^2*h)/3 ; h= x+R, r=radical(R^2-x^2) =>
V = pi*(R^2-x^2)*(x+R)/3 care este mult mai usor de derivat dupa deschiderea parantezele – cel putin pentru mine

succese
Victor Ciobanu

May 16th, 2009 at 23:26 | #2

Reply | Quote

Ehehe! Să dau BAC-ul la matematică acum matincă nu-l trec
Ori exerciţiile au devenit mai grele şi mai complicate, ori cel mai probabil, după 3 ani de ştiinţe povestologice am uitat complet cu ce se mănâncă matematica
Ursul

May 16th, 2009 at 23:40 | #3

Reply | Quote

Nu, asta e o rezolvare mai grea , de fapt se rezolvă mai uşurel.
Victor Ciobanu

May 16th, 2009 at 23:57 | #4

Reply | Quote

Nu, nu de problema asta concret vorbesc. M-am uitat la mai multe exerciţii de pe blogul tău, “categoria dificilă”, şi cam am dat cu nasul în toate. Îmi este imposibil să le rezolv, numai dacă nu-mi acord special vreo oră pentru calcule şi nu-mi caut caietele de matematică din şcoală/liceu. Şi când îmi amintesc că eram bunişor la mate la şcoală… iată aşa 3 ani din viaţă îţi şterg cunoştinţele

Azi I dată am nimerit pe blogul tău, şi să ştii că mi-a făcut plăcere
să mă uit prin el . Mi-a adus aminte de lecţiile mele de mate de demult, ceea ce e un lucru bun. Faci o treabă bună cu blogul tău, zic eu. Cel puţin, chiar dacă n-ai să mă convingi să mă apuc de matematică din nou , că mi-am ales un alt drum în viaţă, în schimb mai dezmorţeşte creierul şi-i mai aminteşte de trecut ceva
Fallen

June 11th, 2009 at 14:24 | #5

Reply | Quote

O intrebare privind rezolvarea: Cum argumentezi ca inaltimea conului este in tocmai R+x , doar poate fi si varianta cind h=R-x ( conul va fi continut doar intr-o jumatate a sferei date)? Aceasta e matematica si faptul ca doar intuim ceva – e foarte bine ,dar demonstratia e necesara, e necesar de adus dovezi ca aceasta posibilitate trebuie exclusa.
Ursul

June 11th, 2009 at 16:01 | #6

Reply | Quote

Fallen :
O intrebare privind rezolvarea: Cum argumentezi ca inaltimea conului este in tocmai R+x , doar poate fi si varianta cind h=R-x ( conul va fi continut doar intr-o jumatate a sferei date)? Aceasta e matematica si faptul ca doar intuim ceva – e foarte bine ,dar demonstratia e necesara, e necesar de adus dovezi ca aceasta posibilitate trebuie exclusa.

Ai perfectă dreptate.Este o argumentare necesară.Mai verific încă.