Să se determine valorile lui m ,clasa a 9-a
Sa se determine m E R astfel incat
{ x e R | x2 + mx +1 =0} intersectata cu intervalul [1;+ infinit) e diferita de multimea vida.
Rezolvare:
Pentru început trebuieşte înţeles faptul că prima mulţime nu poate avea decît 2 elemente maximum(cele două rădăcini ale ecuaţiei) şi pentru ca intersecţia celor două mulţimi să fie diferită de mulţimea vidă avem nevoie ca ecuaţia de gradul doi să aibă cel puţin o soluţie ,altfel spus, ca determinantul ecuaţiei să fie mai mare sau egal cu 0.
Am scris în limbaj matematic condiţia. Am scris ecuaţia de gradul doi şi am pus condiţia ca determinantul acesteia să fie mai mare sau egal decît 0.
Am primit valorile lui m pentru care determinantul este mai mare sau egal cu 0 (puteţi verifica)
În continuare vom găsi cele două soluţii ale ecuaţiei şi vom pune condiţia ca cel puţin una dintre ele să se afle în intervalul [1,+infinit) aşa încît reuniunea celor două mulţimi să fie un element măcar şi nu mulţimea vidă:
Cele două rădăcini sunt:
Acum vom pune condiţia ca cel puţin una din cele două rădăcini să aparţină intervalului [1,infinit)
Vom rezolva fiecare din cele două inecuaţii pe rînd, începînd cu prima:
Prin ridicarea ambelor părţi la pătrat obţinem :
Rezolvăm cea dea doua inecuaţie:
Pentru că avem o expresie mai mare decît un radical (care este pozitiv)
punem condiţia ca expresia să fie mai mare sau egală cu 0.
După stabilirea acestui punct se ridică la pătrat ambele părţi şi se rezolvă ecuaţia.
Pentru că am primit că m trebuie să fie mai mic sau egal cu -2 şi mai mare sau egal ca -2 rezultă că singura soluţie a acestei ecuaţii este -2.Oricare alta nu va satisface inegalitatea(din,nou puteţi verifica).
Răspunsul final va fi:
