Blog Matematic

Am decis, să rezolv ocazional o problemă din cele cu care mă confrunt zilnic, pe lîngă posturile în care explic teoria matematică.  In desenul alăturat(clic pentru imagine) triunghiul ACB este dreptunghic in C.  Un cerc este tangent la latura AB în punctul D şi intersecteaza celelalte doua laturi în punctele P şi Q respectiv. CD este un diametru al cercului.  AB = 10 cm,  AC = 8 cm şi BC = 6 cm.  Utilizînd datele problemei şi desenul,  determină lungimea segmentului PQ.

Rezolvare:

Să vedem cum arată desenul. Cunoaştem laturile triunghiului. Ştim că CD , pentru că este diametru al cercului, este perpendiculară pe tangenta la cerc în punctul D respectiv perpendiculară pe AB, ceea ce transformă CD în înălţime a triunghiului. Observăm că triunghiurile BDC şi BCA sunt asemănătoare după criteriul unghi-unghi-unghi pentru că au un unghi în comun(CBO) şi cîte unul de 90 de grade. Din această asemănare facem raportul  :

De unde CD=(BC*CA)/AB=6*8/10=4,8(cm). Am aflat înălţimea în acest triunghi şi diametrul cercului.
Pun pe diametrul CD centrul cercului aproximativ şi unesc centrul cercului cu P şi Q .Notez centrul cercului cu K. Ei bine distanţa KQ este egală cu KP pentru că ele sunt două raze ale cercului iar raza este unică.Privesc unghiul QCP  care are 90 de grade.Fiind unghi înscris în circumferinţă, el are măsura egală cu jumătate din cea a unghiului corespunzător la centru. Altfel spus măsura unghiului QCP este jumătate din cea a unghiului QKP.Dacă QCP are 90* atunci QKP are 180*. Stop. Ce înseamnă că QKP are 180*?Înseamnă că raza KQ şi raza KP formează un unghi de 180* sau că ele reprezintă o dreaptă, căci numai dreptele au 180*.  Deci, dacă  unim Q cu centrul cercului şi mai apoi centrul cercului cu P aceasta este o dreaptă, iar distanţa de la Q la P este egală cu 2 raze, sau cu diametrul, care l-am calculat anterior şi am primit răspunsul 4,8cm. Confuzia ar putea veni din partea segmentului desenat  între Q şi P care pare că este mai scurt decît două raze, însă,  dacă aş fi desenat corect,  punctul K ar fi nimerit exact pe segmentul PQ cum este şi normal.

Soluţia nr.2:

Aşa cum am găsit pe google că aceasta este o problemă de bacalaureat din 2005(profil umanist) vă prezint şi soluţia de acolo.

Calculăm aria triunghiului aplicînd două formule. S=(AC*BC)/2 şi cealaltă S=(CD*BD)/2 şi egalînd ariile aflăm CD.

Privim patrulaterul QCPD şi observăm că el are unghiul QCD egal cu 90 de grade şi prin urmare CQD are tot 90* pentru unghiurile trebuie să aibă în sumă 180 de grade.Urmărind acelaşi fir,  dacă QCD are 90 de grade atunci şi QDP are tot 90* . Prin urmare patrulaterul QCPD are toate unghiurile de 90 de grade iar asta înseamnă că el este un pătrat, iar un pătrat are diagonalele deci QP=CD=4,8 cm.

Ursul Uncategorized